Äquivalenzrelationen auf eine Menge?

Question

Hi,
wenn ich eine Äquivalenzrelation auf eine Menge M erstellen will,
sei M beispielsweise {1, 2, 3}, muss dann für jede Äquivalenzrelation die Reflexivität, die Symmetrie und die Transitivität erfüllt sein?

Beispiel:
R := {(1,1), (2,3)}   -> ist dies möglich? Hier ist ja beispielweise keine Transitivität erfüllt.

Weiteres Beispiel:
R := {(1,2), (2,3) (1,3) }  Hier ist ja die Transitivität erfüllt, aber es wird nicht ersichtlich, dass die Refelxivität Und Symmetrie erfüllt sind.
Wäre also nicht quasi nur eine Äquivalenzrelation auf M möglich?

R := { (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1) Für mich erscheint nur diese Möglichkeit als richtig, da wir hier die Reflexion haben, die Symmetrie und die Transitivität.

Wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.

Answer 1

Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation =(Def)
1. R ist reflexiv
2. R ist symmetrisch
3. R ist transitiv

Das heißt:
1. Für alle a aus M muss gelten (a; a) € R bzw. (andere Schreibweise) aRa
2. Für alle a,b aus M: WENN aRb, SO auch bRa
3. Für alle a,b,c ausM: WENN aRb und bRc, SO aRc

Also ist R = {(1;1); (2;2); (3;3)} eine Äquivalenzrelation
Da (1;2) nicht in R enthalten ist, braucht auch (2;1) nicht in R enthalten zu sein usw.

Auch R={(1;1); (2;2); (3;3); (1;2); (2;1)}
wäre wieder eine Äquivalenzrelation. Mit (1;2) muss auch (2;1) enthalten sein, mehr aber nicht.

Nimmst Du (1;3) hinzu, muss auch (3;1) enthalten sein
Also:
{(1;1); (2;2); (3;3); (1;2); (2;1); ( 1;3); (3;1)}

Hättest Du statt dessen aber (nur (2,3) und (3,2) hinzugenommen, so hätte das nicht ausgereicht, also:
{(1;1); (2;2); (3;3); (1;2); (2;1); (2;3); (3;2)} wäre keine Äquivalenzrelation, da sie nciht transitiv ist
Es sind zwar (1;2) und (2;3) in R, nicht  aber (1;3)

Hier hätten nun zusätzlich auch noch (1;3) und (3;1) in die Relation mit aufgenommen werden müssen, um sie zu einer Äquivalenzrelation zu machen.