Frage zu Scharfunktionen?

Question

Hey,
ich habe eine kleine Frage. Wir haben im Unterricht noch nie solche Funktionen durchgenommen und ich weiß nicht mehr weiter. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen?
Hier ist die Aufgabe:

Für welche t E R hat der Graph von ft in den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die zueinander orthogonal sind?
ft=t(x²-5x+4)
Danke danke!
LG

Answer 1

die graphen der funktionen schneiden die x-achse stets bei x = 1 und x = 4
(weil x^2 - 5x + 4 = (x-1)*(x - 4) = 0 für die obigen x.)

ft'(x) = t(2x - 5),
also ft'(1) = - 3t  und ft'(4) = 3t.

da die beiden tangenten orthogonal sind, muss das produkt der steigungen -1 sein.
also: (-3t)*3t = -1  -------> t^2 = 1/9 -------> t = +/-1/3.

Answer 2

1. Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstelle)

ft=t(x²-5x+4) =0

(x²-5x+4)=0
pq-formel liefert
x1=1 und x2=4

2. Die Berechung der Ableitung von ft

ft'= t (2 x -5)

3. Steingung in x1,x2

ft'(x1) =t (2 *1-5)= -3t
t'(x2)=t (2 *4-5)=  3t

4. Zwei Geraden sien zueinander senkrecht wenn das Produkt ihrer Steigung = -1

-3t*3t=-1
-9 t² = -1
t²= 1/9
t1 = 1/3 und t2 =-1/3