Warum bildet man bei der Integralrechnung die Stammfunktion? Woher weiß ich, dass F'(x)=f(x) ist?

Answer 1

F(x) ist die Aufleitung von f(x). Logischerweise ist die Ableitung der Aufleitung (F'(x)) die Ursprungsfunktion f(x).

Genauso wie die Ableitung von f(x) = f'(x)

Ist die Ableitung von F(x) = F'(x) = f(x) da F(x) die direkte Aufleitung von f(x) ist.

Hoffe das ist verständlich :-D 

Hier  noch ein Link zum nachlesen: 

http://www.klassenarbeiten.de/oberstufe/leistungskurs/mathematik/integral/integral.htm

Answer 2

"Eine Funktion zu integrieren (d.h. die Fläche unter der Funktionskurve zu berechnen) heißt, sich diese Funktion als 1.Ableitung zu denken."

 

Genau hier ist mein Problem. Warum denkt man sich die Funktion f(x) als erste Ableitung?

Answer 3

Das wurde mal bewiesen, dass es so funktioniert, dass mit der Methode die Flächen unter einer Funktion berechnet werden können und somit wird es von den meisten Leute einfach so hingenommen. 

Hier müsstest du den mathematischen Beweis finden:

http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung#Der_Satz

Vor zwei Jahren hätte ich dir es erklären können :( jetzt verstehe ich es selbst nicht mal mehr :-D sorry. Vllt weiß es ja noch jemand anders besser? 

 

Answer 4

Hoffentlich. Wenn man nicht weiß wieso, weshalb, dann macht das Rechnen auch keinen Spaß, selbst wenn die Ergebnisse richtig sind :-)

Answer 5

Was ist jetzt eigentlich genau das Problem? Generell die Frage wozu, warum und wieso? Oder ist das Problem, wie die Flächenberechnung dann abläuft?

Also zur Flächenberechnung folgendes:

Man denke sich eine Funktion. Nun kann man zwischen X-Achse und der Linie der Funktion lauter Rechtecke reinzeichnen, so dass in etwa das Rechteck auf der einen Seite so weit rauszeigt, wie es auf der anderen Seite unter der Kurve ist - so dass quasi das Rechteck wirklich als näherung eine Aussage über die Fläche unter der Kurve zulässt. Der Gedanke ist nun, dass wenn man die Breite dieser Rechtecke gegen 0 laufen lässt man eine neue Funktion erhält (die Formel mit dem Limes). Diese nennt man Stammfunktion. Setzt man nun die seitlichen Grenzwerte (a und b, also der Bereich für den die Fläche berechnet werden soll) in die Stammfunktion ein, so kann man damit dann den entsprechenden Flächeninhalt berechnen.

Zur Verdeutlichung:

Man Zeichne y=X² und Y=2X in ein kartesisches Koordinatensystem. Die beiden sind zueinander Stammfunktion bzw. Ableitung.

Betrachtet man nun die Stelle X=2:

- die Parabel hat einen Y-Wert von 4, die Gerade einen Y-Wert von 4

- Mit Y und X-Wert der Geraden kann man über die Dreiecks-Formel den Flächeninhaltberechnen: 1/2*a*b, dabei sind a und b der x bzw. y-wer. 1/2 * 2 * 4 = 4, was wiederum dem Y-Wert der Parabel entspricht.

Soviel zum Thema Integralrechnung.

Umgekehrt betrachtet, sagt der Funktionswert der Geraden an der Stelle 2 aus, dass die Parabel an der Stelle 2 eine Steigung von 4 hat. Würde man also eine Tangente an der Parabel zeichnen, hätte diese die Steigung 4.

Answer 6

Rechne es aus und stelle fest, dass das funktioniert. Eigentlich gehört in der Stammfunktion noch ein "+ c". Das c ist eine Konstante und Konstanten fallen bei Ableitung ja weg, wenn sie nichts mit der Unabhängigen (oft x oder t) zu tun haben.

Heißt so viel wie Rückwärtsableiten. Was musst du tun, um das zu erreichen, was abgeleitet wieder das ist, was zu integrieren war?

Hast du die SF, so hast du das Unbestimmte Integral. Willste die Fläche von x=a bis x=b, so setzt du F(b) ein, setzt F(a) ein und rechnest "F(b) - F(a)". Achtung, wenn das unter die x-Achse geht, dann müsstet du mehrere bestimmte Integrale separat berechnen und die Summe daraus wäre die eingeschlossene Fläche. Weil: Negative Flächen und so...